Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)、是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線與軸正半軸交點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形．試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程求出的值，從而確定拋物線的方程；（2）結(jié)合圖象與拋物線的定義確定點(diǎn)、、三點(diǎn)共線求出的最小值，并確定的直線方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）上點(diǎn)，，利用得到得到與之間的關(guān)系，從而確定直線的方程，結(jié)合與之間的關(guān)系，從而確定直線所過的定點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為坐標(biāo)為，

則解得，

把點(diǎn)代入，解得，

所以拋物線的方程為；

（2）是拋物線的焦點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，

拋物線的準(zhǔn)線為，

過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義知,

，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)“”成立，

即當(dāng)點(diǎn)為過點(diǎn)所作的拋物線準(zhǔn)線的垂線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，

，這時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（3）所在的直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為，

令，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè),，顯然，

則，，，

，，即，

直線的方程為，

即，

所以直線經(jīng)過定點(diǎn).

考點(diǎn)：1.拋物線的定義與方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系