Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），且點M（1，e）和N(e，

3

2

)都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）是否存在直線l同時與橢圓C₁和拋物線C2：y2=4x都相切？若存在，求出該直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由點（1，e）在橢圓上，求出b，由點(e ，  

3

2

)在橢圓上，求出a，即可求出橢圓C₁的方程；
（2）假設(shè)這樣的直線l存在，設(shè)出直線方程，利用直線與橢圓，直線與拋物線相切，建立方程組，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）由題設(shè)知，a2=b2+c2，e=

c

a

，
由點（1，e）在橢圓上，得

12

a2

+

e2

b2

=1⇒

1

a2

+

c2

a2b2

=1⇒b2+c2=a2b2⇒a2=a2b2⇒b2=1，…（2分）
∴c²=a²-1，
由點(e ，  

3

2

)在橢圓上，得

e2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1⇒

c2

a4

+

( 3 2 )2

1

=1⇒

a2-1

a4

+

3

4

=1⇒a4-4a2+4=0⇒a2=2…（4分）
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1…（5分）
（2）假設(shè)這樣的直線l存在，
直線l的斜率顯然存在，不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+m，…（6分）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y并整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
因為直線l與橢圓C₁相切，所以△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
整理得2k²-m²+1=0①…（8分）
由

y2=4x y=kx+m

，消去y并整理得k²x²+（2km-4）x+m²=0．
因為直線l與拋物線C₂相切，所以△=（2km-4）²-4k²m²=0，
整理得km=1②…（10分）
綜合①②，解得

k= 2 2 m= 2

或

k=- 2 2 m=- 2

．                  …（12分）
所以直線l的方程為y=

2

2

x+

2

或y=-

2

2

x-

2

…（14分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．