Question

16．三個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者各自出題給對(duì)方做．
甲出的題目是：（1）證明不等式$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x，x＞0；
乙出的題目是：（2）在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n^2-n-1}$，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
丙看完后出的題目是：在（2）中，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，證明：-1+lnn＜S_n≤$\frac{1}{2}$+lnn．

Answer 1

分析 （1）設(shè)g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性即可得證；
（2）由條件，兩邊取倒數(shù)，可得$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{n-1}$）=1，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到；
（3）在（1）中，令x=$\frac{1}{n}$，得$\frac{1}{n+1}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，令x_n=S_n-lnn，則x₁=$\frac{1}{2}$，判斷x_n-x_n-1的單調(diào)性，即可證得不等式的右邊；再由lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1+ln1=$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$），運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可證得左邊．

解答 解：（1）證明：設(shè)g（x）=ln（1+x）-$\frac{x}{1+x}$，h（x）=ln（1+x）-x（x＞0），
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$=$\frac{x}{（1+x）^{2}}$＞0，h′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，
則g（x）遞增，即有g(shù)（x）＞g（0）=0，h（x）遞減，即有h（x）＜h（0）=0，
則不等式$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x成立；
（2）a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{n^2-n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n}{{n}^{2}-n-1}$，
即有$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}-n}$=1-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
即為$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-$\frac{1}{n-1}$）=1，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$}為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{n}$=n，即有a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$；
（3）證明：在（1）中，令x=$\frac{1}{n}$，得$\frac{1}{n+1}$＜ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
令x_n=S_n-lnn，則x₁=$\frac{1}{2}$，x_n-x_n-1=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-ln（1+$\frac{1}{n-1}$）＜$\frac{n}{{n}^{2}+1}$-$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{n（{n}^{2}+1）}$＜0，
則x_n＜x_n-1＜…＜x₁=$\frac{1}{2}$，故不等式右邊成立；
又lnn=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+…+ln2-ln1+ln1=$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$），
x_n=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{k}{1+{k}^{2}}$-$\sum_{k=1}^{n-1}$ln（1+$\frac{1}{k}$）=$\sum_{k=1}^{n-1}$（$\frac{k}{1+{k}^{2}}$-ln（1+$\frac{1}{k}$））+$\frac{n}{{n}^{2}+1}$＞$\sum_{k=1}^{n-1}$（$\frac{k}{{k}^{2}+1}$-$\frac{1}{k}$）
=-$\sum_{k=1}^{n-1}$$\frac{1}{k（1+{k}^{2}）}$≥-$\sum_{k=1}^{n-1}$$\frac{1}{k（k+1）}$=-1+$\frac{1}{n}$＞-1，即不等式左邊成立．
故-1+lnn＜S_n≤$\frac{1}{2}$+lnn成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用和等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，以及數(shù)列的單調(diào)性證明，屬于難題．