Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

（k∈Z^*，α≠kπ，n∈N₊），在驗(yàn)證n=1時(shí)，左邊計(jì)算所得的項(xiàng)是

1

2

+cosα

．

Answer 1

分析：由等式

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

，當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1，而等式左邊起始為

1

2

的，后面再加上α的連續(xù)的正整數(shù)倍的余弦值的和，由此易得答案．

解答：解：在等式

1

2

+cosα+cos3α+…+cos（2n-1）α=

sin 2n+1 2 a•cos 2n-1 2 a

sina

中，
當(dāng)n=1時(shí)，2n-1=1，
而等式左邊起始為

1

2

的，后面再加上α的連續(xù)的正整數(shù)倍的余弦值的和，
故n=1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)為：

1

2

+cosα，
故答案為：

1

2

+cosα．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法的步驟，在數(shù)學(xué)歸納法中，第一步是論證n=1時(shí)結(jié)論是否成立，此時(shí)一定要分析等式兩邊的項(xiàng)，不能多寫也不能少寫，否則會(huì)引起答案的錯(cuò)誤．解此類問(wèn)題時(shí)，注意n的取值范圍．