Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).
(l)求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

(1)單增區(qū)間，單減區(qū)間，極小值；(2).

解析試題分析：(1)先對函數(shù)求導(dǎo)得到，然后分別求出以及時的的取值集合，這兩個取值集合分別對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在處取得極小值，求出即可；(2)根據(jù)，先將式子化簡得，，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，先求出函數(shù)的零點，再討論函數(shù)在零點所分區(qū)間上的單調(diào)性，據(jù)此判斷函數(shù)在點取得最小值，這個最小值即是的最大值.
試題解析：（1) ∵，
∴，
當時，有 ，∴函數(shù)在上遞增，         3分
當時，有 ，∴函數(shù)在上遞減，         5分
∴在處取得極小值，極小值為.        6分
(2)
即 ，
又，  ，             8分
令 ， 
，        10分
令，解得或 （舍），
當時，，函數(shù)在上遞減，
當時，，函數(shù)在上遞增，            12分
，                                                 13分
即的最大值為.                                          14分
考點：1.函數(shù)求導(dǎo)；2.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；3.不等式恒成立問題；4.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；5.解不等式