Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n且滿足a_n=2S_n-1S_n（n≥2），a₁=1．
（1）求證：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求a_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)_n=2S_n-1S_n（n≥2）代入a_n=2S_n-1S_n，整理后即可證明{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）求出S_n，代入a_n=2S_n-1S_n（n≥2）可得a_n的表達(dá)式．

解答 （1）證明：由a_n=2S_n-1S_n（n≥2），得
S_n-S_n-1=2S_n-1S_n（n≥2），
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}-\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}{S}_{n}}=2$，即$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=-2$（n≥2）．
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以$\frac{1}{{S}_{1}}=\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知：$\frac{1}{{S}_{n}}=1-2（n-1）=3-2n$．
∴${S}_{n}=\frac{1}{3-2n}$，
則a_n=2S_n-1S_n=$2×\frac{1}{3-2（n-1）}×\frac{1}{3-2n}=\frac{2}{（5-2n）（3-2n）}$（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)上式不成立．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{（5-2n）（3-2n）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．