Question

如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求直線(xiàn)CE與平面ABED所成角的余弦值；
（3）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，證明ABPF為平行四邊形，可得AF∥BP，利用線(xiàn)面平行的判定，可以證明AF∥平面BCE；
（2）過(guò)C作CO⊥AD，則O是AD的中點(diǎn)，連接OE，則∠CEO是直線(xiàn)CE與平面ABED所成角，從而可求直線(xiàn)CE與平面ABED所成角的余弦值；
（3）多面體ABCDE的體積

1

3

SABED•CO，即可得到結(jié)論．．

解答：（1）證明：取CE中點(diǎn)P，連接FP、BP，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（2）解：∵△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，
∴BC²=AB²+AC²
∴AB⊥AC
∵AB⊥AD，AC∩AD=A
∴AB⊥平面ACD
∵AB?平面ABED
∴平面ABED⊥平面ACD
過(guò)C作CO⊥AD，則O是AD的中點(diǎn)，且CO⊥平面ABDE
連接OE，則∠CEO是直線(xiàn)CE與平面ABED所成角
∵OE=

5

，CE=2

2

∴cos∠CEO=

5

2 2

=

10

4

（3）解：多面體ABCDE的體積為

1

3

SABED•CO=

1

3

×

1

2

×(1+2)×2×

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面平行，考查線(xiàn)面垂直，考查線(xiàn)面角，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．