Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足，且當x＞1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并加以證明；
（3）若f（3）=-1，解關(guān)于x不等式f（x²-3x-1）＜-2．

Answer 1

解：（1）由任意性，令x₁=x₂∈（0，+∞），則f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．下面證明
證明：任取0＜x₁＜x₂，則，，
∵，又由已知 ，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（3），由f（3）=-1得f（9）=-2．
則f（x²-3x-1）＜-2，可化為f（x²-3x-1）＜f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴x²-3x-1＞9，解得x＜-2或x＞5．
∴原不等式的解集為{x|x＜-2或x＞5}．
分析：（1）賦值法可解；
（2）定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；
（3）利用（2）中的單調(diào)性化不等式為x²-3x-1＞9，可得答案．
點評：本題為函數(shù)的單調(diào)性的證明，并利用單調(diào)性來求解不等式，屬基礎(chǔ)題．