Question

2．已知函數(shù) f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx，g（x）={x^3}-{x^2}$-5，若對任意的 ${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立，利用參數(shù)分類法進行轉化為a≥x-x²lnx在$\frac{1}{2}$≤x≤2上恒成立，構造函數(shù)h（x）=x-x²lnx，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：函數(shù)g（x）的導數(shù)g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），∴函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上遞減，則[$\frac{2}{3}$，2]上遞增，
g（[$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-5=-\frac{41}{8}$，g（2）=8-4-5=-1，
若對任意的 ${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，都有f（x₁）-g（x₂）≥2成立，
即當$\frac{1}{2}$≤x≤2時，f（x）≥1恒成立，
即$\frac{a}{x}+xlnx≥1$恒成立，
即a≥x-x²lnx在$\frac{1}{2}$≤x≤2上恒成立，
令h（x）=x-x²lnx，則h′（x）=1-2xlnx-x，h′′（x）=-3-2lnx，
當在$\frac{1}{2}$≤x≤2時，h′′（x）=-3-2lnx＜0，
即h′（x）=1-2xlnx-x在$\frac{1}{2}$≤x≤2上單調遞減，
由于h′（1）=0，
∴當$\frac{1}{2}$≤x≤1時，h′（x）＞0，
當1≤x≤2時，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（1）=1，
∴a≥1．
故選：B．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構造函數(shù)利用參數(shù)分離法結合函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．