Question

（2012•泉州模擬）已知A₁，A₂，A₃，…，A₁₀等10所高校舉行的自主招生考試，某同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率均為

1

2

．
（Ⅰ）如果該同學(xué)10所高校的考試都參加，試求恰有2所通過的概率；
（Ⅱ）假設(shè)該同學(xué)參加每所高�？荚囁�需的費(fèi)用均為a元，該同學(xué)決定按A₁，A₂，A₃，…，A₁₀順序參加考試，一旦通過某所高校的考試，就不再參加其它高校的考試，試求該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由該同學(xué)通過各�？荚嚨母怕示鶠�

1

2

，能求出該同學(xué)恰好通過2所高校自主招生考試的概率．
（Ⅱ）設(shè)該同學(xué)共參加了i次考試的概率為P_i（1≤i≤10，i∈Z）．由Pi=

1 2i ，1≤i≤9，i∈Z 1 29 ，i=10

，能求出該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列，由此能求出該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)樵撏瑢W(xué)通過各校考試的概率均為

1

2

，
所以該同學(xué)恰好通過2所高校自主招生考試的概率為
P=

C

2 10

(

1

2

)2(1-

1

2

)8=

45

1024

．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)該同學(xué)共參加了i次考試的概率為P_i（1≤i≤10，i∈Z）．
∵Pi=

1 2i ，1≤i≤9，i∈Z 1 29 ，i=10

，
∴所以該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用ξ的分布列如下：

ξ	a	2a	3a	4a	5a	6a	7a	8a	9a	10a
P	1 2	1 22	1 23	1 24	1 25	1 26	1 27	1 28	1 29	1 29

…（7分）
所以Eξ=(

1

2

×1+

1

22

×2+…+

1

29

×9+

1

29

×10)a，…（8分）
令S=

1

2

×1+

1

22

×2+…+

1

29

×9，…（1）
則

1

2

S=

1

22

×1+

1

23

×2+…+

1

29

×8+

1

210

×9，…（2）
由（1）-（2）得

1

2

S=

1

2

+

1

22

+…+

1

29

-

1

210

×9，
所以S=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

28

-

1

29

×9，…（11分）
所以Eξ=(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

28

-

1

29

×9+

1

29

×10)a
=(1+

1

2

+…+

1

29

)a=

1- 1 210

1- 1 2

a=2(1-

1

210

)a=

1023

512

a（元）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用用意識(shí)，考查必然與或然思想、分類與整合思想等．