Question

【題目】在 (n≥2)個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表中， 表示第i行第j列的數(shù)，記． 若｛-1,0,1} ()，且r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn，兩兩不等，則稱此表為“n階H表”，記

H={ r1,r2,…,rn,c1,c2,..,cn}.

(I）請(qǐng)寫出一個(gè)“2階H表”;

(II）對(duì)任意一個(gè)“n階H表”，若整數(shù)，且，求證： 為偶數(shù)；

(Ⅲ）求證：不存在“5階H表”.

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）見解析;（III）見解析.

【解析】試題分析：（I）由單一即可寫出；

（II）對(duì)任意一個(gè)“階表”， 表示第行所有數(shù)的和， 表示第列所有數(shù)的和

（），可知 . 進(jìn)而得到 .所以 為偶數(shù).

（III）假設(shè)存在一個(gè)“階表”，則由（II）知，且和至少有一個(gè)成立，不妨設(shè).

設(shè)，則，于是，因而可設(shè)，

， .

分①若 3是某列的和，②若3是某行的和，討論均可得出矛盾，綜上，不存在“5階表”.

試題解析：

（I）;

（II）對(duì)任意一個(gè)“階表”， 表示第行所有數(shù)的和， 表示第列所有數(shù)的和

（）. 與均表示數(shù)表中所有數(shù)的和，所以 .

因?yàn)?/span>，所以只能取內(nèi)的整數(shù).

又因?yàn)?/span>互不相等， 且，

所以，

所以 .

所以 為偶數(shù).

（III）假設(shè)存在一個(gè)“階表”，則由（II）知，且和至少有一個(gè)成立，不妨設(shè).

設(shè)，則，于是，因而可設(shè)，

， .

①若 3是某列的和，由于，故只能是前四列某列的和，不妨設(shè)是第一列，即.現(xiàn)考慮，只能是或，不妨設(shè)，即，由兩兩不等知兩兩不等，不妨設(shè)，若則；若則；若則，均與已知矛盾.

②若3是某行的和，不妨設(shè)，則第4行至少有3個(gè)1，若這3個(gè)1是前四個(gè)中某三個(gè)數(shù)，不妨設(shè)，則第五行前三個(gè)數(shù)只能是3個(gè)不同的數(shù)，不妨設(shè)

，則矛盾，故第四行只能前四個(gè)數(shù)有2個(gè)1，第五個(gè)數(shù)為1，不妨設(shè)，所以，第五行只能是2個(gè)0，3個(gè)或1個(gè)1，4個(gè).則至少有兩個(gè)數(shù)相同，不妨設(shè)，則與已知矛盾.

綜上，不存在“5階表”.