【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是棱長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)面PAD為正三角形,且面PAD⊥面ABCD,E、F分別為棱AB、PC的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)求三棱錐B﹣EFC的體積;
(3)求二面角P﹣EC﹣D的正切值.

【答案】
(1)證明:取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,

∵GF為△PDC的中位線(xiàn),∴GF∥CD且 ,

又AE∥CD且 ,∴GF∥AE且GF=AE,

∴EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,

又EF面PAD,AG面PAD,

∴EF∥面PAD


(2)解:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,

∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,∴PO⊥面ABCD,且 ,

又PC為面ABCD斜線(xiàn),F(xiàn)為PC中點(diǎn),∴F到面ABCD距離 ,


(3)解:連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,

∴∠MEB=∠AOB,則∠MEB+∠MBE=90°,即OM⊥EC.

連PM,又由(2)知PO⊥EC,可得EC⊥平面POM,則PM⊥EC,

即∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,

在Rt△EBC中, ,∴ ,

,即二面角P﹣EC﹣D的正切值為


【解析】(1)取PD中點(diǎn)G,連結(jié)GF、AG,由三角形中位線(xiàn)定理可得GF∥CD且 ,再由已知可得AE∥CD且 ,從而得到EFGA是平行四邊形,則EF∥AG,然后利用線(xiàn)面平行的判定可得EF∥面PAD;(2)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)PO,由面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD,且 ,求出F到面ABCD距離 ,然后利用等積法求得三棱錐B﹣EFC的體積;(3)連OB交CE于M,可得Rt△EBC≌Rt△OAB,得到OM⊥EC.進(jìn)一步證得PM⊥EC,可得∠PMO是二面角P﹣EC﹣D的平面角,然后求解直角三角形可得二面角P﹣EC﹣D的正切值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)已知點(diǎn)N(0,3),圓C的半徑為3,且圓心C在第一象限,若圓C上存在點(diǎn)M,使MN=2MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求圓心C的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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(1)求實(shí)數(shù)a的值,并在所給直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做出函數(shù)g(x)的圖象;
(2)設(shè)h(x)= ,根據(jù)h(x)的圖象寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間.

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