已知函數(shù)f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R).

(1)當(dāng)a=1時,證明函數(shù)f(x)只有一個零點;

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.

解:(1)證明:當(dāng)a=1時,f(x)=lnx-x2+x,其定義域是(0,+∞),

∴f′(x)=-2x+1=.

令f′(x)=0,即=0,解得x=或x=1.

∵x＞0,∴x=舍去.當(dāng)0＜x＜1時,f′(x)＞0;當(dāng)x＞1時,f′(x)＜0.

∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.

∴當(dāng)x=1時,函數(shù)f(x)取得最大值,其值為f(1)=ln1-12+1=0.

當(dāng)x≠1時,f(x)＜f(1),即f(x)＜0.∴函數(shù)f(x)只有一個零點.

(2)∵f(x)=lnx-a2x2+ax,其定義域為(0,+∞),

∴f′(x)=-2a2x+a==.

①當(dāng)a=0時,f′(x)=＞0,

∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上為增函數(shù),不合題意.

②當(dāng)a＞0時,f′(x)＜0(x＞0)等價于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞.

此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,+∞).

依題意,得解之,得a≥1.

③當(dāng)a＜0時,f′(x)＜0(x＞0)等價于(2ax+1)(ax-1)＞0(x＞0),即x＞-.

此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,+∞).

依題意,得解之,得a≤.

綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,］∪［1,+∞).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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