Question

已知函數(shù)，過點(diǎn)P(1，0)作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，
（1）當(dāng)t=2時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數(shù)n，在區(qū)間[2，n+]內(nèi)，總存在m+1個數(shù)a₁，a₂，....，a_m，
a_m+1，使得不等式g（a₁）+g（a₂）+...+g（a_m）<g（a_m+1）成立，求m的最大值

Answer 1

解：（10當(dāng)t=2時，f（x）=x+，，
解得x>或x<-，則函數(shù)f（x）有單調(diào)增區(qū)間為
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，x_2
∵，切線PM的方程為：，
又∵切線PM過點(diǎn)P（1，0），∴有，
即，（1）
同理，由切線PN也過點(diǎn)（1，0），得 （2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程的兩根，
∴
，

把（*）式代入，得，
 因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為
（3）易知g（t）在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴，
則，
∵對一切正整數(shù)n成立，
∴不等式對一切的正整數(shù)n成立
，
即對一切的正整數(shù)n成立，
∵
∴，
由于m為正整數(shù)，∴，
又當(dāng)m=6時，存在，對所有的n滿足條件。
因此，m的最大值為6。