Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點D為AB的中點．
1）求證：BC₁∥面A₁DC；
2）求棱AA₁的長，使得A₁C與面ABC₁所成角的正弦值等于

2

15

30

．

Answer 1

分析：（1）連接AC₁與A₁C交于點E，則E為AC₁的中點，又點D是AB中點，根據(jù)中位線定理可知DE∥BC₁，而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，滿足線面平行的判定定理，從而BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐標系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a），求出平面ABC₁的發(fā)向量

n

，然后根據(jù)sinα=

|A1C • n |

|A1C || a |

=

2

15

30

建立等式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）連接AC₁與A₁C交于點E，則E為AC₁的中點，又點D是AB中點，則DE∥BC₁，
而DE?面A₁DC，BC₁?面A₁DC，則有BC₁∥面A₁DC；
（2）建立坐標系A（1，0，0）B（0，1，0）C₁（0，0，a）
求得平面ABC₁的發(fā)向量

n

=(1，1，

1

a

)
sinα=

|A1C • n |

|A1C || a |

=

2

15

30

求得a=

1

2

或

2

∴棱AA₁的長為

1

2

或

2

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及線面所成角的應用，同時考查了利用空間向量的知識解決立體幾何問題，屬于中檔題．