Question

已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切．求：
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）設直線ax-y+5=0與圓相交于A，B兩點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在（2）的條件下，是否存在實數(shù)a，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）利用點到直線的距離求出半徑，從而求圓的方程；
（Ⅱ）利用圓心到直線的距離小于半徑可求出實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）假設存在利用直線與圓的位置關(guān)系性質(zhì)解決．

解答： 解：（Ⅰ）設圓心為M（m，0）（m∈Z）．
由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5，所以，

|4m-29|

5

=5，
即|4m-29|=25．
因為m為整數(shù)，故m=1．
故所求的圓的方程是（x-1）²+y²=25．
（Ⅱ）直線ax-y+5=0即y=ax+5．代入圓的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
即12a²-5a＞0，解得 a＜0，或a＞

5

12

．
所以實數(shù)a的取值范圍是(-∞，0)∪(

5

12

，+∞)．
（Ⅲ）設符合條件的實數(shù)a存在，
由（2）得a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，
l的方程為y=-

1

a

(x+2)+4，
即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
由于

3

4

∈(

5

12

，+∞)，
故存在實數(shù)a=

3

4

，使得過點P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

點評：本題主要考查了圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系等知識的綜合應用，以及存在性問題的解決技巧，屬于難題．