Question

1．盒子里裝有大小相同的8個球，其中3個1號球，3個2號球，2個3號球．
（Ⅰ）若第一次從盒子中任取一個球，放回后第二次再任取一個球，求第一次與第二次取到球的號碼和是5的概率；
（Ⅱ）若從盒子中一次取出2個球，記取到球的號碼和為隨機變量X，求X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出第一次是3，第二次是2和第一次是2，第二次是3的概率相加即可；
（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，分別求出其概率值，列出分布列，求出數(shù)學期望即可．

解答 解：（Ⅰ）記“第一次與第二次取到的球上的號碼的和是5”為事件A，
則$P（A）=\frac{3}{8}×\frac{2}{8}+\frac{2}{8}×\frac{3}{8}=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}$；
（Ⅱ）X可能取的值是2，3，4，5，6，
$P（X=2）=\frac{C_3^2}{C_8^2}=\frac{3}{28}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_8^2}=\frac{9}{28}$，
$P（X=4）=\frac{C_3^1C_2^1+C_3^2}{C_8^2}=\frac{9}{28}$，
$P（X=5）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_8^2}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$，
$P（X=6）=\frac{C_2^2}{C_8^2}=\frac{1}{28}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5	6
P	$\frac{3}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{28}$

∴$EX=\frac{3}{28}×2+\frac{9}{28}×3+\frac{9}{28}×4+\frac{3}{14}×5+\frac{1}{28}×6=\frac{105}{28}=\frac{15}{4}$，
故所求的數(shù)學期望為$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分別列及其期望，熟練掌握公式是解題的關鍵，本題屬于中檔題．