Question

4．已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x+5；函數(shù)g（x）=a^x（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（2）=9，且g[f（x）]≥k對x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由已知可得$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$，解得f（x）的解析式；
（2）若g（2）=9，則a=3，若g[f（x）]≥k對x∈[-1，1]恒成立，則k不大于函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=[a（x+1）²+b（x+1）+c]-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}2a=2\\ a+b=5\\ c=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=4\\ c=1\end{array}\right.$
∴f（x）=x²+4x+1；
（2）若g（2）=9，則a²=9，
解得：a=3，
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）∈[-2，6]，
g[f（x）]∈[$\frac{1}{9}$，729]，
若g[f（x）]≥k對x∈[-1，1]恒成立，
則k≤$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．