Question

16．如圖所示，正四棱錐P-ABCD被過棱錐高上O′點且平行底面的平面A′B′C′D′所截，得到正四棱臺OO′和較小的棱錐PO′，其中O′分PO為$\frac{PO′}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，側(cè)棱PA長為15cm，小棱錐底面邊長A′B′為6cm．
（1）求截得棱臺的體積．
（2）求棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的表面積．

Answer 1

分析 （1）計算出棱臺的上、下底的邊長，高，可得截得棱臺的體積；
（2）由等體積計算棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的半徑，即可求出棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的表面積．

解答 解：（1）由A′B′∥AB得$\frac{PA′}{PA}=\frac{A′B′}{AB}=\frac{PO′}{PO}$，
∴$\frac{PA′}{15}=\frac{6}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴PA′=5，AB=18，
∵PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=3$\sqrt{7}$
∴OO′=$\frac{2}{3}$PO=2$\sqrt{7}$，
∴V_臺=$\frac{1}{3}$（36+18²+$\sqrt{36×1{8}^{2}}$）•2$\sqrt{7}$=312$\sqrt{7}$（cm³）…（6分）
（2）作軸截面圖如下，設(shè)球心為E，半徑為R，

由PH=PQ=12，HQ=AB=18，PO=$\sqrt{1{2}^{2}-{9}^{2}}$=3$\sqrt{7}$，則
∵S_△PHQ=$\frac{1}{2}$（PH+PQ+HQ）R，
∴$\frac{1}{2}×18×3\sqrt{7}$=$\frac{1}{2}$（12+12+18）R，
∴R=$\frac{9}{\sqrt{7}}$，
∴棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的表面積為4πR²=$\frac{324}{7}$π（cm²）…（12分）

點評 本題考查棱臺的體積，考查棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的表面積，考查學(xué)生的計算能力，求出棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．