Question

已知矩陣A=

2 b 1 3

屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為α=

1 -1

．
（1）求實(shí)數(shù)b，λ的值；
（2）若曲線C在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的曲線為C′：x²+2y²=2，求曲線C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專題：計(jì)算題,矩陣和變換

分析：（1）由矩陣的特征向量的定義，即可求出b=0，λ=2；
（2）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍�線C′上一點(diǎn)P（x₀，y₀），由矩陣變換的特點(diǎn)，即可得到它們的關(guān)系式，再代入已知曲線方程即可．

解答： 解：（1）因?yàn)榫仃嘇=

2 b 1 3

屬于特征值λ的一個(gè)特征向量為α=

1 -1

，
所以

2 b 1 3

 

1 -1

=λ

1 -1

，即

2-b -2

=

λ -λ

，從而2-b=λ，-2=-λ，
解得b=0，λ=2．
（2）由（1）知，A=

2 0 3 1

．
設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M（x，y）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍�線C′上一點(diǎn)P（x₀，y₀），
則

x0 y0

=

2 0 1 3

 

x y

=

2x x+3y

，
從而

x0=2x y0=x+3y

                           
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C′上，所以x₀²+2y₀²=2，即（2x）²+2（x+3y）²=2，
從而3x²+6xy+9y²=1．
所以曲線C的方程為3x²+6xy+9y²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的特征值和特征向量，以及矩陣變換下的曲線方程，屬于中檔題．