Question

已知橢圓E的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y2=4

3

x的焦點(diǎn)重合，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)A(1，

3

2

)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點(diǎn)D(0，

5

3

)且斜率存在的直線l交橢圓E于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為Q，點(diǎn)B（-1，0），當(dāng)l⊥QB時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，利用橢圓E的右焦點(diǎn)F₂與拋物線y2=4

3

x的焦點(diǎn)重合，經(jīng)過點(diǎn)A(1，

3

2

)，建立方程，求得幾何量，即可求出橢圓E的方程；
（2）設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及l(fā)⊥QB，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵拋物線y2=4

3

x的焦點(diǎn)為(

3

，0)，∴F₂(

3

，0)，∴a²-b²=3①--------（3分）
又過點(diǎn)A(1，

3

2

)，∴

1

a2

+

3

4b2

=1②
由①，②得：a²=4，b²=1
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1-----（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為：y=kx+

5

3

(k≠0)
由

y=kx+ 5 3 x2+4y2=4

得（9+36k²）x²+120kx+64=0
由△=14400k²-256（9+36k²）＞0得：k2＞

4

9

設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀）則

x0= x1+x2 2 = -60k 9+36k2 y0=kx0+ 5 3 = 15 9+36k2

----（9分）
∵l⊥QB，∴

k

QB

=

15 9+36k2

-60k 9+36k2 +1

=-

1

k

，化簡得：4k²-5k+1=0
解得：k=1或k=

1

4

（舍去）
∴直線l的方程為y=x+

5

3

-----（12分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．