Question

如果正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，那么以B，C為焦點且過點D，E的雙曲線的離心率是________．

Answer 1

分析：設正△ABC的邊長為2c，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系，則E的坐標為（ ，），由題意知可設雙曲線的方程為 =1，把E的坐標代入雙曲線的方程化簡可得4a⁴-8a²c²+c⁴=0，求得 的值，即可得到 的值．
解答：由向量 ，可得DE是△ABC的中位線，
設正△ABC的邊長為2c，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標系，
則E的坐標為（ ，），
由題意知可設雙曲線的方程為=1，
把E的坐標代入雙曲線的方程得-=1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，
∵＞1，∴=4+2 ，∴=+1，
故答案為：．
點評：本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，求出E的坐標為（ ，），是解題的關鍵．