Question

如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求證：AM∥平面BCN；
（Ⅱ）求AN與平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E為直線MN上一點(diǎn)，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過證明平面與平面平行的判定定理證明平面AMD∥平面BCN，然后證明AM∥平面BCN；
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面MNC的法向量以及直線AN向量，然后求AN與平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）設(shè)E（x，y，z），，推出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2λ，2λ，2-λ），通過，求出，即可求的值．
解答：（本題14分）解：（Ⅰ）證明：∵ABCD是正方形，
∴BC∥AD．∵BC?平面AMD，AD?平面AMD，
∴BC∥平面AMD．
∵NB∥MD，∵NB?平面AMD，MD?平面AMD，
∴NB∥平面AMD．
∵NB∩BC=B，NB?平面BCN，BC?平面BCN，
∴平面AMD∥平面BCN…（3分）
∵AM?平面AMD，
∴AM∥平面BCN…（4分）
（也可建立直角坐標(biāo)系，證明AM垂直平面BCN的法向量，酌情給分）
（Ⅱ）∵M(jìn)D⊥平面ABCD，ABCD是正方形，所以，可選點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DM所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）…（5分）
則A（2，0，0），M（0，0，2），C（0，2，0），N（2，2，1）．∴，…（6分），，
設(shè)平面MNC的法向量，
則，令z=2，則，…（7分）
設(shè)AN與平面MNC所成角為θ，∴．…（9分）
（Ⅲ）設(shè)E（x，y，z），，∴，
又∵，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2λ，2λ，2-λ），…（11分）
∵AD⊥面MDC，∴AD⊥MC，欲使平面ADE⊥平面MNC，只要AE⊥MC，
∵，，
∵∴4λ-2（2-λ）=0，
∴，
所以．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面平行的性質(zhì)定理，直線與平面所成角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，向量法解決幾何問題的方法．考查空間想象能力與計(jì)算能力．