Question

△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C對(duì)邊，且a²=bc．
（1）當(dāng)a=4，

b

c

=

cosB

cosC

，求△ABC的面積；
（2）求函數(shù)f(A)=sin(A+

π

3

)的定義域和值域．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理得到B=C，利用等角對(duì)等邊得到b=c，把a(bǔ)，b=c代入a²=bc，求出a=b=c=4，得到三角形為等邊三角形，求出面積即可；
（2）利用余弦定理表示出cosA，把a(bǔ)²=bc代入利用基本不等式求出cosA的范圍，確定出A的范圍，進(jìn)而確定出f（A）的定義域與值域即可．

解答： 解：（1）由正弦定理得：

b

c

=

sinB

sinC

=

cosB

cosC

，即sinBcosC=sinCcosB，
整理得：sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵a=4，a²=bc，
∴a=b=c=4，即△ABC為等邊三角形，
則S_△ABC=

3

4

×4²=4

3

；
（2）∵a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-bc

2bc

≥

2bc-bc

2bc

=

1

2

，
∴A∈（0，

π

3

]，即A+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，
則f（A）=sin（A+

π

3

）∈[

3

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．