Question

在邊長為3的正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結A₁B，A₁P（如圖）．
（I）求證：A₁E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求點B到面A₁PF的距離；
（Ⅲ）求異面直線BP與A₁F所成角的余弦．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）利用面面垂直的性質(zhì)定理判斷；
（Ⅱ）點B到面A₁PF的距離進行轉(zhuǎn)化，B到面面A₁PF的距離即為E到面面A₁PF的距離，E到面A₁PF的距離即為△A₁EF中E到A₁F的距離；
（Ⅲ）DF∥BP∴∠DFA₁即為所求角

解答： （本小題滿分12分）證明：（I）在圖1中，取BE的中點D，連DF
∵

AE

EB

=

CF

FA

=

CP

PB

=

1

2

，∵AF=AD=2，又∠A=60°∴△ADF為正三角形
又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在圖2中有A₁E⊥EF，BE=EF
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角∵二面角A₁-EF-B為直二面角∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP-----------（4分）
（Ⅱ）∵BE∥PF∴BE∥面A₁PF，∵B到面面A₁PF的距離即為E到面面A₁PF的距離，
∵BE⊥面A₁EF，又BE∥PF，∴PF⊥面A₁EF
∴面A₁EF⊥面A₁PF∵E到面A₁PF的距離即為△A₁EF中E到A₁F的距離
d=A₁E×sin60°=

3

2

∴點B到面A₁PF的距離為

3

2

-------------（8分）
（Ⅲ）∵DF∥BP∴∠DFA₁即為所求角
△A₁DF中A₁D=

2

，DF=2，A₁F=2，cos∠DFA1=

DF2+A1F2+A1D2

2DF•A1F

=

3

4

∴異面直線BP與A₁F所成角的余弦值為

3

4

-----------（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點面距，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意問題的轉(zhuǎn)化．