Question

16．設(shè)x∈R，M表示不超過x的最大整數(shù)．給出下列結(jié)論：
①[3x]=3[x]
②若m，n∈R，則[m-n]≤[m]-[n]；
③函數(shù)f（x）=x-[x]-定是周期函數(shù)：
④若方程[x]=ax有且僅有3個(gè)解，則a∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]∪[$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）．
其中正確的結(jié)論有②③．（請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

分析 ①取x=0.5，則[3x]=[1.5]=1，而3[x]=3[0.5]=0，即可判斷出正誤；
②若m，n∈R，設(shè)m=k₁+m₀，n=k₂+n₀，k₁，k₂∈Z，m₀，n₀∈[0，1），可得[m₀-n₀]=0或-1，則[m]-[n]=k₁-k₂，[m-n]=k₁-k₂+[m₀-n₀]，即可判斷出正誤；
③由圖象即可判斷出正誤；
④先考慮3個(gè)解≥0時(shí)，則$\frac{3}{2}≤a＜2$；同理可得3個(gè)解≤0時(shí)，則$\frac{2}{3}＜a≤\frac{3}{4}$．即可判斷出正誤．

解答 解：①取x=0.5，則[3x]=[1.5]=1，而3[x]=3[0.5]=3×0=0，因此不正確；
②若m，n∈R，設(shè)m=k₁+m₀，n=k₂+n₀，k₁，k₂∈Z，m₀，n₀∈[0，1），
（m₀-n₀）∈（-1，1），∴[m₀-n₀]=0或-1，則[m]-[n]=k₁-k₂，[m-n]=[k₁-k₂+（m₀-n₀）]=k₁-k₂+[m₀-n₀]≤k₁-k₂，∴[m-n]≤[m]-[n]，正確；
③由圖象可知：函數(shù)f（x）=x-[x]是周期為1的周期函數(shù)；
④先考慮3個(gè)解≥0時(shí)，則$\frac{3}{2}≤a＜2$；同理可得3個(gè)解≤0時(shí)，則$\frac{2}{3}＜a≤\frac{3}{4}$．
因此若方程[x]=ax有且僅有3個(gè)解，則a∈（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，2），因此不正確．
綜上可得：只有②③正確．
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了高斯函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想方法、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．