Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D_l中，AB=5，AD=8，
AA₁=4，M為B₁C₁上一點且B₁M=2，點N在線段A₁D上，A₁D⊥AN．
（1）求cos＜

A1D

，

AM

＞；
（2）求直線AD與平面ANM所成角的大小；
（3）求平面ANM與平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，寫出兩個向量的坐標，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角的余弦．
（2）利用線面垂直的判斷定理得到

A1D

⊥平面AMN，利用向量的數(shù)量積公式求出法向量

A1D

與

AD

所成角的余弦，
其絕對值為直線與面所成角的正弦．
（3）求出兩個面的法向量，利用向量的數(shù)量積求出兩個法向量的夾角余弦，即兩面所成角的余弦或余弦的相反數(shù)．

解答：解：（1）建立空間直角坐標系如圖．
可得向量

AM

=（5，2，4），
向量

A1D

=（0，8，-4），

AM

•

A1D

=0+16-16=0
∴

AM

=⊥

A1D

，
即cos＜

AM

，

A1D

＞=0．
（2）

A1D

⊥AM，

A1D

⊥AN，∴

A1D

⊥平面AMN，
∴向量

A1D

=（0，8，-4），是平面AMN的一個法向量，
又

AD

=（0，8，0），|

A1D

|=4

5

，
|

AD

|=8，

A1D

•

AD

=64；
∴cos＜

A1D

，

AD

＞=

64

4 5 ×8

=

2

5

=

2 5

5

，
∴AD與平面AMN所成的角為

π

2

-arccos

2 5

5

．
（3）∵平面AMN的法向量是

A1D

=（0，8，-4），平面ABCD的法向量是

AA1

=（0，0，4），∴cos＜

A1D

，

AA1

＞=

A1D ? AA1

| A1D || AA1 |

=

-4

4 5

=-

5

5

；
∴平面AMN與平面ABCD所成的角為arccos

5

5

．

點評：本題考查利用向量的數(shù)量積求兩個向量的夾角余弦、求直線與平面所成的角的正弦、求兩個平面所成的角的余弦．