已知直線l與橢圓C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積S△OPQ=
6
2
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值；
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（Ⅰ）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以x1=x2，y1=-y2，
∵P（x1，y1）在橢圓上，
∴
x12
3
+
y12
2
=1①
又∵S△OPQ=
6
2
，
∴|x1||y1|=
6
2
 ②
由①②得|x1|=
6
2
，|y1|=1．此時(shí)x12+x22=3，y12+y22=2；
2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，是直線l的方程為y=kx+m（m≠0），將其代入
x2
3
+
y2
2
=1得
（3k2+2）x2+6kmx+3（m2-2）=0，△=36k2m2-12（3k2+2）（m2-2）＞0
即3k2+2＞m2，
又x1+x2=-
6km
3k2+2
，x1•x2=
3(m2-2)
3k2+2
，
∴|PQ|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
，
∵點(diǎn)O到直線l的距離為d=
|m|
1+k2
，
∴S△OPQ=
1
2
1+k2
2
6
3k2+2-m2
3k2+2
•
|m|
1+k2
=
6
3k2+2-m2
|m|
3k2+2
，
又S△OPQ=
6
2
，
整理得3k2+2=2m2，此時(shí)x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-
6km
3k2+2
）2-2
3(m2-2)
3k2+2
=3，
y12+y22=
2
3
（3-x12）+
2
3
（3-x22）=4-
2
3
（x12+x22）=2；
綜上所述x12+x22=3，y12+y22=2．結(jié)論成立．

（Ⅱ）1°當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知
|OM|=|x1|=
6
2
，|PQ|=2|y1|=2，
因此|OM|•|PQ|=
6
．
2°當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知
x1+x2
2
=-
3k
2m
，
y1+y2
2
=k
x1+x2
2
+m=
-3k2+2m2
2m
=
1
m

|OM|2=（
x1+x2
2
）2+（
y1+y2
2
）2=
9k2
4m2
+
1
m2
=
6m2-2
4m2
=
1
2
(3-
1
m2
)，
|PQ|2=（1+k2）
24(3k2+2-m2)
(2+3k2)2
=
2(2m2-1)
m2
=2（2+
1
m2
），
所以|OM|2|PQ|2=
1
2
(3-
1
m2
)×2×(2+
1
m2
)=（3-
1
m2
）（2+
1
m2
）

≤(
3-
1
m2
+2+
1
m2
2
)2=
25
4
．
|OM|•|PQ|≤
5
2
．當(dāng)且僅當(dāng)3-
1
m2
=2+
1
m2
，
即m=±
2
時(shí)，等號(hào)成立．
綜合1°2°得|OM|•|PQ|的最大值為
5
2
；

（Ⅲ）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
，
證明：假設(shè)存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2

由（Ⅰ）得
u2+x12=3，u2+x22=3，x12+x22=3；v2+y12=2，v2+y22=2，y12+y22=2
解得u2=x12=x22=
3
2
；v2=y12=y22=1．
因此u，x1，x2只能從±
6
2
中選取，
v，y1，y2只能從±1中選取，
因此點(diǎn)D，E，G，只能在（±
6
2
，±1）這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，
而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
矛盾．
所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論常數(shù)a、b如何，直線CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線的離心率，使CD通過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知直線x-y+1=0經(jīng)過(guò)橢圓S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)．
（1）求橢圓S的方程；
（2）如圖，M，N分別是橢圓S的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k．
①若直線PA平分線段MN，求k的值；
②對(duì)任意k＞0，求證：PA⊥PB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：x2=2py（p＞0）與圓O：x2+y2=8相交于A、B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l與圓O相切，切點(diǎn)在劣弧AB（含A、B兩點(diǎn)）上，且與拋物線C相交于M、N兩點(diǎn)，d是M、N兩點(diǎn)到拋物線C的焦點(diǎn)的距離之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值時(shí)直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C過(guò)定點(diǎn)F（-
1
4
，0），且與直線x=
1
4
相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點(diǎn)．
（I）求曲線E的方程；
（II）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí)，求k的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知拋物線x2=4
3
y的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線
x2
m2
-y2=-1的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=
3
2
，點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱．一曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）求曲線E的方程；
（2）已知點(diǎn)S(0，-
3
)，T(0，
3
)，求∠SPT的最小值；
（3）若點(diǎn)F(1，
3
2
)是曲線E上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是曲線E上不同的兩點(diǎn)，直線FM和FN的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線MN的斜率是否為定值，如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經(jīng)過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2交于A1，A2兩點(diǎn)，如果弦長(zhǎng)|A1A2|等于△PF1F2的周長(zhǎng)，求直線l的斜率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
2
2
，左焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，△FMN面積的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)P，A，B是橢圓E上異于頂點(diǎn)的三點(diǎn)，Q（m，n）是單位圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；
②求OA2+OB2的值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案