Question

5．已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），觀察下列運(yùn)算a₁•a₂=log₂3•log₃4=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$=2，a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•log₆7•log₇8=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg7}{lg6}$•$\frac{lg8}{lg7}$=3．定義使a₁•a₂•a₃•…•a_k為整數(shù)的k（k∈N^*）叫做企盼數(shù)．則區(qū)間[1，2016]內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為 （　　）

• A． 2026
• B． 2057
• C． 2073
• D． 2074

Answer 1

分析 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃•…•a_k=$\frac{lg3}{lg2}$•$\frac{lg4}{lg3}$•…•$\frac{lg（k+1）}{lgk}$•$\frac{lg（k+2）}{lg（k+1）}$=$\frac{lg（k+2）}{lg2}$，
∴k+2=2^t（t≥2，t∈N^*），
于是區(qū)間[1，2016]內(nèi)的所有企盼數(shù)的和為（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）=$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{9}）}{1-2}$-2×9=2026，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．