Question

（2012•道里區(qū)三模）已知P為邊長為2的正方形ABCD及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，若△PAB，△PBC面積均不大于1，則

AP

•

BP

取值范圍是（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  )
• B．（-1，2）
• C．(0，

  1

  2

  ]
• D．[-1，1]

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（x，y），由已知條件可得x，y滿足的可行域，利用數(shù)量積可得要求的問題，進(jìn)而即可解決．

解答：解：如右圖所示：設(shè)點(diǎn)P（x，y）．
∵△PAB，△PBC面積均不大于1，
∴

1

2

×2y≤1，

1

2

×2(2-x)≤1，0≤x≤2，0≤y≤2．
解得0≤y≤1，1≤x≤2．如左圖所示的可行域：
由

AP

•

BP

=（x，y）•（x-2，y）=x（x-2）+y²=（x-1）²+y²-1．
∵d²=（x-1）²+y²表示的是可行域中的任意一點(diǎn)M與E（1，0）的距離的平方，
∴0≤d2≤(

2

)2，∴-1≤d²-1≤1，即-1≤

AP

•

BP

≤1．
故選D．

點(diǎn)評：利用面積和向量的數(shù)量積正確得出x，y的取值范圍及要解決的問題和充分結(jié)合圖形是解題的關(guān)鍵．