Question

如圖，在直角梯形ABEF中，將四邊形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一個空間幾何體如圖所示．
（1）求證：BE∥平面ADF；
（2）求證：AF⊥平面ABCD；
（3）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)折疊之后BC∥AD，CE∥DF的關系不變，根據(jù)線面平行的判定定理可得：BC∥平面ADF；CE∥平面ADF，再根據(jù)面面平行的判定兩點可得面面平行，進而得到線面平行．
（2）由于∠FDA=60°，F(xiàn)D=2，AD=1，根據(jù)余弦定理求出AF，而AF²+AD²=FD²，滿足勾股定理則AF⊥AD，又DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D；AD，DF?平面ADF，從而DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，則DC⊥AF，AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AF⊥平面ABCD．
（3）確定DC⊥平面EBC，求出S_△ECB=EC×BC×sin∠ECB，即可求得體積．
解答：（1）證明：由已知條件可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關系不變，
因為BC?平面ADF，AD?平面ADF，
所以BC∥平面ADF；同理CE∥平面ADF．
又∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADF．
∴BE∥平面ADF．
（2）證明：由于∠FDA=60°，F(xiàn)D=2，AD=1，
∴AF²=FD²+AD²-2×FD×AD×cos∠FDA=4+1-2×2×1×=3
即AF=
∴AF²+AD²=FD²，∴AF⊥AD．
又∵DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD=D，AD，DF?平面ADF
∴DC⊥平面ADE，AF?平面ADF，
∴DC⊥AF，
∵AD∩DC=D，AD，DC?平面ABCD．
∴AF⊥平面ABCD．
（3）∵DC⊥EC，DC⊥BC，EC∩BC=C
∴DC⊥平面EBC
∵DF∥EC，AD∥BC，∠FDA=60°，∴∠ECB=60°，
又∵EC=1，BC=1，
∴S_△ECB=EC×BC×sin∠ECB==
∴V_E-BCD=V_D-EBC=．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，考查直線與平面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，同時考查了化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．