Question

設(shè)F₁、F₂為曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的焦點，P是曲線C₂：

x2

3

-y²=1與C₁的一個交點，則△PF₁F₂的面積為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線和橢圓的定義可得 PF₁+PF₂=2

6

，PF₁-PF₂=2

3

，△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=

1

3

，故 sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，由△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂運算
得到結(jié)果．

解答：解：由曲線C₁：

x2

6

+

y2

2

=1的方程可得 F₁ （-2，0）、F₂ （2，0），再由橢圓的定義可得
PF₁+PF₂=2

6

． 又因曲線C₂：

x2

3

-y²=1 的焦點和曲線C₁ 的焦點相同，再由雙曲線的定義可得
PF₁-PF₂=2

3

．∴PF₁=

6

+ 

3

，PF₂=

6

-

3

．
△PF₁F₂ 中，由余弦定理可得  16=(

6

+

3

)2+   (

6

-

3

)2-2（

6

+

3

）（

6

-

3

）cos∠F₁PF₂ ，
解得 cos∠F₁PF₂=

1

3

，∴sin∠F₁PF₂=

2 2

3

，
△PF₁F₂的面積為

1

2

•PF₁•PF₂•sin∠F₁PF₂=

1

2

（

6

+

3

 ）（

6

-

3

）sin∠F₁PF₂=

2

，
故答案為：

2

．

點評：本題考查雙曲線和橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出 PF₁=

6

+ 

3

，PF₂=

6

-

3

，
 sin∠F₁PF₂ 的值，是解題的關(guān)鍵．