Question

如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁，右焦點為F₂，過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，△ABF₂的周長為8，且△AF₁F₂面積最大時，△AF₁F₂為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，證明：點M（1，0）在以PQ為直徑的圓上．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）已知△ABF₂的周長為8，即4a=8，求得a，再由△AF₁F₂面積最大時，△AF₁F₂為正三角形可得橢圓的離心率，則c可求，進一步求得b，則橢圓方程可求；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程后由判別式等于0得到k與m的關系，從而求得直線與橢圓的公共點的坐標，再由直線y=kx+m與x=4聯(lián)立求得Q的坐標，然后利用取特殊值法求得以PQ為直徑的圓與x軸的交點坐標，進一步證明

MP

•

MQ

=0得答案．

解答： 解：（1）∵過F₁的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF₂的周長為8，
∴4a=8，a=2．
∵△AF₁F₂面積最大時，△AF₁F₂為正三角形，
∴e=

1

2

，即

c

a

=

1

2

，
∴c=1，
∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0．
∴4k²-m²+3=0．
此時x₀=-

4km

4k2+3

=-

4k

m

，y₀=

3

m

，
即P（-

4k

m

，

3

m

）
由

y=kx+m x=4

，得Q（4，4k+m）．
取k=0，m=

3

，此時P（0，

3

），Q（4，

3

），
以PQ為直徑的圓為（x-2）²+（y-

3

）²=4，交x軸于點M₁（1，0）或M₂（3，0）．
取k=-

1

2

，m=2，此時P（1，

3

2

），Q（4，0），
以PQ為直徑的圓為（x-

5

2

）²+（y-

3

4

）²=

45

16

，交x軸于點M₃（1，0）或M₄（4，0）．
故若滿足條件的點M存在，只能是M（1，0），
證明如下∵

MP

=(-

4k

m

-1，

3

m

)，

MQ

=(3，4k+m)，
∴

MP

•

MQ

=-

12k

m

-3+

12k

m

+3=0
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M（1，0）．

點評：本題橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了特值化思想在解題中的應用，考查了計算能力，是高考試卷中的壓軸題．