Question

18．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂（x²+2）．
（1）求f（x）得解析式及值域：
（2）若f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0恒成立，求a得取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂（x²+2），求得x＜0時(shí)的解析式，再由f（0）=0，可得函數(shù)f（x）的解析式，然后利用分段函數(shù)求得函數(shù)值域；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）$為增函數(shù)，又f（x）是R上的奇函數(shù)，可得f（x）是R上的增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性把不等式f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0轉(zhuǎn)化為
a+1+4^x＞-a•2^x，然后分離參數(shù)a，求出函數(shù)g（x）=$-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{x}+1}$的范圍后可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=log₂（x²+2）．
∴f（0）=0；
設(shè)x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-log₂（x²+2）．
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{x}^{2}+2），x＞0}\\{0，x=0}\\{-lo{g}_{2}（{x}^{2}+2），x＜0}\end{array}\right.$．
當(dāng)x＞0時(shí)，x²+2＞2，∴$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）＞1$，又f（0）=0，
結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-1）∪{0}∪（1，+∞）；
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+2）$為增函數(shù)，又f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）是R上的增函數(shù)，
則f（a+1+4^x）+f（a•2^x）＞0?f（a+1+4^x）＞f（-a•2^x）?a+1+4^x＞-a•2^x，
即（1+2^x）a＞-4^x-1恒成立，也就是$a＞-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{2}+1}$恒成立，
函數(shù)g（x）=$-\frac{{2}^{2x}+1}{{2}^{x}+1}=-\frac{（{2}^{x}+1）^{2}-2（{2}^{x}+1）+1}{{2}^{x}+1}$=$-[（{2}^{x}+1）+\frac{1}{{2}^{x}+1}]+2$＜0．
∴a≥0．
即a的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了分段函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式，考查了利用分類(lèi)參數(shù)法求解參數(shù)的取值范圍，是中檔題．