Question

已知向量

a

=（2sinx，sinx），

b

=（sinx，2

3

cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若對(duì)任意滿足條件的A，不等式f（A）+m＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用數(shù)量積運(yùn)算、兩角和差、倍角公式、正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可得出；
（II）由正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=2sin2x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x-cos2x+1
=2sin(2x-

π

6

)+1．
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（II）∵2acosB=bcosC+ccosB，
由正弦定理可得：2cosBsinA=sinBcosC+cosBsinC，
∴2cosBsinA=sin（B+C）=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0．
∴cosB=

1

2

．
又0＜B＜π．
∴B=

π

3

．∴0＜A＜

2π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，0＜2sin(2A-

π

6

)+1≤3．
∴f（A）=2sin(2A-

π

6

)+1的值域?yàn)椋?，3]．
不等式f（A）+m＞0恒成立，∴m＞-f（A）恒成立，
∵-f（A）＜0恒成立，
∴m≥0，m的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和差、倍角公式，考查了數(shù)量積的運(yùn)算、三角函數(shù)的單調(diào)性、正弦余弦定理的應(yīng)用，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．