Question

設(shè)f（x）=x+

1

x

的圖象為c₁，c₁關(guān)于點(diǎn)A（2，1）對(duì)稱的圖象為c₂，c₂對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g（x）
（1）求g（x）的解析表達(dá)式；
（2）解不等式logag(x)＜loga

9

2

（a＞0且≠1）

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)g（x）圖象任一點(diǎn)P（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的點(diǎn)P'坐標(biāo)，再把此點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）的解析式，化簡(jiǎn)得到g（x）的解析式；
（2）由g（x）＞0求出x的范圍，即對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況求解，分別利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解分式不等式的解集時(shí)利用通分進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用求出的x的范圍求解不等式的解集，并與定義域求交集．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)g（x）圖象c₂上任一點(diǎn)P（x，y），則關(guān)于點(diǎn)A（2，1）對(duì)稱的點(diǎn)P'坐標(biāo)為（x'，y'），
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

x+x′ 2 =2 y+y′ 2 =1

，解得x'=4-x，y'=2-y，即P'（4-x，2-y），
∵點(diǎn)P'在函數(shù)f（x）=x+

1

x

的圖象c₁上，∴2-y=4-x+

1

4-x

，則y=x-2+

1

x-4

，
∴g（x）=x-2+

1

x-4

．
（2）由g（x）＞0得，x-2+

1

x-4

＞0，即

x2-6x+9

x-4

＞0，
∴（x²-6x+9）（x-4）＞0，解得x＞4，則y=log_a^g（x）的定義域是（4，+∞），
下面分兩種情況求解：
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y=log_a^x在定義域上是增函數(shù)，
∴原不等式變?yōu)?span id="9lvv3nn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x-2+

1

x-4

＜

9

2

，即

x2-6x+9

x-4

-

9

2

＜0，
∴

2x2-21x+54

2(x-4)

＜0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＜0，解得，

9

2

＜x＜6；
即不等式的解集是{x|

9

2

＜x＜6}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y=log_a^x在定義域上是減函數(shù)，
∴原不等式變?yōu)?span id="3nnnp1p" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">x-2+

1

x-4

＞

9

2

，即

x2-6x+9

x-4

-

9

2

＞0，
∴

2x2-21x+54

2(x-4)

＞0，
∵x＞4，∴2x²-21x+54＞0，解得，x＞6或x＜

9

2

，
∵x＞4，∴4＜x＜

9

2

或x＞6，即不等式的解集是{x|4＜x＜

9

2

或x＞6}，
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)不等式的解集是{x|

9

2

＜x＜6}，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)不等式的解集為{x|4＜x＜

9

2

或x＞6}．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道難度和計(jì)算量較大的綜合題，考查了利用對(duì)稱和代入法求函數(shù)的解析式，利用底數(shù)進(jìn)行分類討論和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)有關(guān)對(duì)數(shù)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；注意求解先求出函數(shù)的定義域以及分式不等式的等價(jià)變形，這是易錯(cuò)的地方．