精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
給定實數a≠0,a≠1,設函數y=(x∈R,且x≠),求證:

(1)經過這個函數圖象上任意兩點的直線不平行于x軸；

(2)這個函數的圖象關于直線y=x對稱.

思路解析:對于(1),可轉化為函數y=的圖象與y=t(t∈R且t是常數)的圖象交點個數不超過一個;對于(2),可證明函數的反函數與原函數是同一個函數.

證明:(1)本題可轉化為函數y=的圖象與y=t(x∈R,t是常數)的圖象交點個數不超過一個.

令=t,得(at-1)x=t-1.若(at-1)≠0,則只有一個解;

若at-1=0,得t=1.∴a=1=t,與a≠1矛盾.

故經過這個函數圖象上任意兩點的直線,不平行于x軸.

(2)由y=,得(ay-1)x=(y-1).

若ay-1=0,則y=1,a=1與已知矛盾.

∴ay-1≠0,x=.

∴f-1 (x)=  (x∈R,x≠),

即函數y= (x∈R,x≠)的反函數為其本身.

所以這個函數的圖象關于直線y=x對稱.

深化升華

(1)一個函數若有反函數,則它的圖象與y=t的圖象最多有一個交點.

(2)若一個函數圖象關于y=x對稱,則它的反函數是這個函數本身.

(3)與本題有關的數學思想方法有轉化思想和數形結合思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

給定實數a，a≠0，且a≠1，設函數y=
x-1
ax-1
（x∈R，且x≠
1
a
）．
證明：（1）經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定實數a，a≠0，且a≠1，設函數y=數學公式（x∈R，且x≠數學公式）．
證明：（1）經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

給定實數a，a≠0，且a≠1，設函數y=
x-1
ax-1
（x∈R，且x≠
1
a
）．
證明：（1）經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：1988年全國統(tǒng)一高考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

給定實數a，a≠0，且a≠1，設函數y=（x∈R，且x≠）．
證明：（1）經過這個函數圖象上任意兩個不同的點的直線不平行
于x軸；
（2）這個函數的圖象關于直線y=x成軸對稱圖形．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案