Question

如圖，三棱錐P-ABC的底面ABC是以AC為斜邊的直角三角形，且頂點P在底面的射影是△ABC外心，設(shè)PB=AB=1，BC=

2

．
（1）求證：面PAC⊥面ABC；
（2）求側(cè)棱PB與底面ABC所成的角；
（3）求側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）過P作PD⊥平面ABC，交點為D，易得D為斜邊AC的中點，進而由面面垂直的判定定理，可得面PAC⊥面ABC；
（2）連結(jié)DB，由（1）中結(jié)論，結(jié)合線面夾角的定義，可得∠PBD是PB與面ABC所成的角，解△PBD可得側(cè)棱PB與底面ABC所成的角；
（3）過D點作OD⊥AB，垂足為O，連PO，由三垂線定理可知PO⊥AB，即∠POD是側(cè)面PAB與面ABC所成二面角的平面角，解△POD可得側(cè)面PAB與底面ABC所成二面角的正切值．

解答：證明：（1）過P作PD⊥平面ABC，交點為D，
則D為△ABC外心，
故D為斜邊AC的中點．
∵PD?面PAC
∴面PAC⊥面ABC．
解：（2）連DB，∵PD⊥面ABC．
∴∠PBD是PB與面ABC所成的角．
∵AB=1，BC=

2

，
故AC=

3

，
又BO=OC=

1

2

AC=

3

2

，PB=1，
在△POB中，cos∠PBO=

3

2

，
則∠PBO=

π

6

，
即側(cè)棱PB與底面ABC所成角為

π

6

．
（3）過D點作OD⊥AB，垂足為O，連PO，由三垂線定理可知PO⊥AB，
∴∠POD是側(cè)面PAB與面ABC所成二面角的平面角，
∵OD=

2

2

，PD=PBsin30°=

1

2

，
∴tan∠POD=

PD

DO

=

2

2

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，二面角的平面角及求法，解答（1）的關(guān)鍵是判斷出D為斜邊AC的中點，解答（2）（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造出線面夾角及二面角的平面角．