20.已知數(shù)列和滿足：.且是以q為公比的等比數(shù)列.

(Ⅰ)證明：;

(Ⅱ)若，證明數(shù)例是等比數(shù)例;

(Ⅲ)求和：….

本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項公式和求和公式等基本知識及基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力.

解法1：(Ⅰ)證：由

∴an+2=anq2(n∈N*).

(Ⅱ)證：∵an=an-2q2,

∴,.

∴.

∴{ cn}是首項為5,以q2為公比的等比數(shù)列.

(Ⅲ)由(Ⅱ)得，，于是

.

當(dāng)q=1時，

，

當(dāng)q≠1時，

.

故

解法2：(Ⅰ)同解法1(Ⅰ).

(Ⅱ)證：，又c1=a1+2a2=5,

∴{ cn} 是首項為5,以q2為公比的等比數(shù)列。

(Ⅲ)由(Ⅱ)的類似方法得，

，

∵，k=1,2,…，n.

∴.

下同解法1.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（07年湖北卷文）（13分）

已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．

（I）證明：；

（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（III）求和：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）

已知數(shù)列、滿足: 為常數(shù)), 且。

(Ⅰ)若是等比數(shù)列, 求數(shù)列和前項和；

(Ⅱ)當(dāng)是等比數(shù)列時, 甲同學(xué)說: 一定是等比數(shù)列; 乙 同學(xué)說: 一定不是等比數(shù)列, 請你對甲、乙兩人的判斷正確與否作出解釋

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆度寧夏高二下學(xué)期期中考試理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）

已知數(shù)列{an}滿足a1=，且前n項和Sn滿足：Sn=n2an，求a2,a3,a4,猜想{an}的通項公式，并加以證明。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年上海市閘北區(qū)高三第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

已知數(shù)列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數(shù)），且．

（1）求數(shù)列{}和{}的通項公式；

（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數(shù)列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結(jié)論．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010年廣東省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分） 已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅲ）（理科做，文科不做）若，求和：.

 

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