Question

已知函數(shù)

   （1）若的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

   （2）若上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

   （3）當(dāng)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。主要是極值的概念和根據(jù)單調(diào)區(qū)間，求解參數(shù)的取值范圍，以及利用函數(shù)與方程的思想求解參數(shù)b的最值。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）……1分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151421101710558_DA.files/image002.png">為的極值點(diǎn)，所以

即，解得，又當(dāng)時(shí)，，從而為的極值點(diǎn)成立。…………2分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151421101710558_DA.files/image003.png">在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立。…………3分

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意�！�………4分

②當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必有對(duì)成立，

故只能…………5分

故對(duì)恒成立

令，其對(duì)稱軸為

從而要使對(duì)恒成立，只要即可…………6分

   解得：

，故

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為…………7分

（3）若時(shí)，方程可化為，．

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．………………………………8分

以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：

解法一：，令

則…………9分

所以當(dāng)時(shí)，，從而在上為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，從而上為減函數(shù)

因此…………10分

而，故…………11分

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值………12分

解法二：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151421101710558_DA.files/image048.png">，所以

設(shè)，則………9分

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151421101710558_DA.files/image059.png">，故必有，又…10分

因此必存在實(shí)數(shù)使得

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減………11分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921493643834998/SYS201206192151421101710558_DA.files/image072.png">

當(dāng)時(shí)，，則，又

因此當(dāng)時(shí)，取得最大值