Question

如圖所示的螺旋線(xiàn)是用以下方法畫(huà)成的，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，曲線(xiàn)CA₁，A₁A₂，A₂A₃分別是A，B，C為圓心，AC，BA₁，CA₂為半徑畫(huà)的弧，曲線(xiàn)CA₁A₂A₃稱(chēng)為螺旋線(xiàn)的第一圈；然后又以A為圓心，AA₃半徑畫(huà)弧，如此繼續(xù)下去，這樣畫(huà)到第n圈．設(shè)所得螺旋線(xiàn)CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長(zhǎng)度為S_n．求
（1）S₁=

4π

；
（2）S_n=

n（3n+1）π

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時(shí)，即為螺旋線(xiàn)CA₁A₂A₃的長(zhǎng)度和，所以S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）由題知如果這樣畫(huà)到第n圈得到n條螺旋線(xiàn)，是由3n條弧長(zhǎng)構(gòu)成，這些弧長(zhǎng)的圓心角都為

2π

3

，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到這些弧長(zhǎng)是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線(xiàn)的總長(zhǎng)度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=

2π

3

+2×

2π

3

+3×

2π

3

=4π
（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長(zhǎng)度分別為：

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π× 2

π

，…，

2π 3 ×π×3n

π

，
化簡(jiǎn)得：

2π

3

，2×

2π

3

，3×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，此數(shù)列是

2π

3

為首項(xiàng)，

2π

3

為公差，項(xiàng)數(shù)為3n的等差數(shù)列，則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故答案為：4π、n（3n+1）π

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和．解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長(zhǎng)成等差數(shù)列，此題鍛煉了學(xué)生會(huì)經(jīng)過(guò)觀察歸納總結(jié)得出結(jié)論的能力．