【題目】設數(shù)列的前
項和為
,且方程
有一根為
(1)求、
;
(2)求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1),
;(2)
.
【解析】
試題(1)分別取,根據(jù)方程
有一根
,,即可求得
、
;(2)由題設得
,,即即
當
時,
,代入上式得
,通過計算猜想
再用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論,進而利用當
時,
,
時,
,適合上式,即可求得
的通項公式.
試題解析:(1)時,
有一根
,
于是,解得
.
時,
有一根
,
于是,解得
.
(2)由題設,得,
即①
當時,
,代入①得
.②
由于(1)知.
由②可,由此猜想
,
下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論.
(ⅰ)時,已知結(jié)論成立.
(ⅱ)假設時結(jié)論成立,即
,當
時,由②得
,
即,故
時結(jié)論也成立.
綜上,由(ⅰ)、(ⅱ)可知,對所有正整數(shù)
都成立,于是當
時,
,
又因為時,
,所以
的通項公式為
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓
的右頂點
,離心率為
,
為坐標原點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知(異于點
)為橢圓
上一個動點,過
作線段
的垂線
交橢圓
于點
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求異面直線AB與PD所成角的余弦值;
(Ⅱ)證明:平面平面PBD;
(Ⅲ)求直線DC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓中心在坐標原點,是它的兩個頂點,直線
與AB相交于點D,與橢圓相交于E、F兩點.
(Ⅰ)若,求
的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為建設美麗鄉(xiāng)村,政府欲將一塊長12百米,寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園,園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG(圖中陰影部分).以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy(如圖所示).景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)模型.園區(qū)服務中心P在x軸正半軸上,PO=
百米.
(1)若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM,求OM的最短長度;
(2)若在線段DE上設置一園區(qū)出口Q,試確定Q的位置,使通道直線段PQ最短.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查觀眾對電影“復仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度,研究人員在某電影院隨機抽取了1000名觀眾作調(diào)查,所得結(jié)果如下所示,其中不喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局的觀眾占被調(diào)查觀眾總數(shù)的.
男性觀眾 | 女性觀眾 | 總計 | |
喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局 | 400 | ||
不喜歡“復仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局 | 200 | ||
總計 |
(Ⅰ)完善上述列聯(lián)表;
(Ⅱ)是否有99.9%的把握認為觀眾對電影“復仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度與性別具有相關性?
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線方程為.
(1)已知直線與雙曲線
交于不同的兩點
,且線段
的中點在圓
上,求
的值;
(2)設直線是圓
上動點
處的切線,
與雙曲線
交于不同的兩點
,證明
的大小為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市調(diào)研考試后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計 | 110 |
(1)請完成上面的列聯(lián)表;
(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認為“成績與班級有關系”;
參考公式與臨界值表:.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和
滿足:
,
,
,其中
為實數(shù),
為正整數(shù).
(Ⅰ)證明:對任意的實數(shù),數(shù)列
不是等比數(shù)列;
(Ⅱ)證明:當時,數(shù)列
是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設為數(shù)列
的前
項和,是否存在實數(shù)
,使得對任意正整數(shù)
,都有
?若存在,求
的取值范圍;若不存在,說明理由.
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