Question

已知f（x）=

2x2+a

3-x

，x∈[0，

5

2

]的圖象為曲線C．且曲線C在點（2，f（2））處的切線平行于直線y=6x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式
（Ⅱ）求f（x）單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的值域

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導函數(shù)，利用f′（2）=6求得a的值，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的a代入函數(shù)解析式，再由定義域內(nèi)滿足f′（x）＞0的范圍求出函數(shù)的增區(qū)間，由f′（x）＜0求出減區(qū)間，得到極值點，再求得f（0），f（

5

2

）與極值后得到函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

2x2+a

3-x

，得f′(x)=

4x(3-x)+(2x2+a)

(3-x)2

=

12x-2x2+a

(3-x)2

．
∴f′（2）=16+a，
∵曲線C在點（2，f（2））處的切線平行于直線y=6x，
∴16+a=6，a=-10．
則f(x)=

2x2-10

3-x

；
（Ⅱ）由f(x)=

2x2-10

3-x

，得f′(x)=

4x(3-x)+2x2-10

(3-x)2

=

-2x2+12x-10

(3-x)2

，
由f′（x）＞0，得1＜x＜5，由f′（x）＜0得x＜1或x＞5．
又x∈[0，

5

2

]，
∴函數(shù)f（x）在[0，1）上為減函數(shù)，在（1，

5

2

]上為增函數(shù)．
由f（0）=-

10

3

，f（1）=-4，f（

5

2

）=5．
∴f（x）的值域為[-4，5]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)最值得求法，是中檔題．