Question

將函數(shù)g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）再向左平移

π

6

個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）圖象，若函數(shù)f（x）的圖象過點（

π

6

，0），且相鄰兩對稱軸的距離為

π

2

．
（1）求ω，φ的值；
（2）求y=f（x）的單調增區(qū)間
（3）若

π

6

＜A＜

π

3

，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的法則，進行化簡，可得兩次變換后所得到的圖象對應函數(shù)解析式．利用函數(shù)的周期以及函數(shù)經(jīng)過的特殊點即可求出ω，φ的值．
（2）利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（3）通過

π

6

＜A＜

π

3

，求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求f（A）的取值范圍即可．

解答： 解：（1）將函數(shù)g（x）=sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)g（x）=sin（

ω

2

x-φ）的圖象，再向左平移

π

6

個單位長度后得到函數(shù)y=f（x）=sin（

ω

2

x+

ωπ

12

-φ）圖象，
∵若函數(shù)f（x）的圖象相鄰兩對稱軸的距離為

π

2

．∴T=π，

2π

ω 2

=π，∴ω=4．
函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

3

-φ），函數(shù)f（x）的圖象過點（

π

6

，0），
∴0=sin（2×

π

6

+

π

3

-φ），∵0＜φ＜π，∴φ=

2π

3

．
∴ω=4，φ=

2π

3

．
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-

π

3

）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為 （kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

），（k∈Z）
（3）f（x）=sin（2x-

π

3

），∵

π

6

＜A＜

π

3

，∴0＜2A-

π

3

＜

π

3

，∴sin（2x-

π

3

）∈（0，

3

2

）．
∴f（A）的取值范圍：（0，

3

2

）．

點評：本題給出三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換，求得到的圖象對應的函數(shù)解析式．著重考查了三角函數(shù)圖象的變換知識的應用，屬于中檔題．