Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[

π

12

，

π

6

]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（　　）

• A、[

  3

  ，2+

  3

  ]
• B、[

  2

  ，

  3

  +1]
• C、[

  2

  ，2+

  3

  ]
• D、[

  3

  ，

  3

  +1]

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用S_△ABF=2S_△AOF，先求出e²=

1

1-sin2α

，再根據(jù)α∈[

π

12

，

π

6

]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答： 解：設(shè)左焦點(diǎn)為F'，令|AF|=r₁，|AF'|=r₂，則|BF|=|F'A|=r₂，
∴r₂-r₁=2a，
∵點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，AF⊥BF，
∴|OA|=|OB|=|OF|=c，
∴r₂²+r₁²═4c²，
∴r₁r₂=2（c²-a²）
∵S_△ABF=2S_△AOF，
∴

1

2

r₁r₂═2•

1

2

c²sin2α，
∴r₁r₂═2c²sin2α
∴c²sin2α=c²-a²
∴e²=

1

1-sin2α

，
∵α∈[

π

12

，

π

6

]，
∴sin2α∈[

1

2

，

3

2

]，
∴e²=

1

1-sin2α

∈[2，（

3

+1）²]
∴e∈[

2

，

3

+1]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．