Question

14．如圖，F(xiàn)是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦點(diǎn)，過(guò)F作漸近線的垂線，垂足為P，與另一條漸近線相交于Q，若|PF|=|PQ|，則C的離心率為2．

Answer 1

分析 通過(guò)聯(lián)立漸近線y=$\frac{a}$x與直線PF的方程，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），將點(diǎn)Q代入漸近線y=-$\frac{a}$x，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（c，0），相應(yīng)的漸近線：y=$\frac{a}$x，
則直線PF的斜率為-$\frac{a}$，其方程為：y=-$\frac{a}$（x-c），
設(shè)P（t，$\frac{a}$t），代入直線PF的方程，
得：$\frac{a}$t=-$\frac{a}$（t-c），解得：t=$\frac{{a}^{2}}{c}$，即P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵|PF|=|PQ|，即點(diǎn)P為線段FQ的中點(diǎn)，
∴Q（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c，2$\frac{ab}{c}$），
∵點(diǎn)Q在漸近線y=-$\frac{a}$x上，
∴2$\frac{ab}{c}$=-$\frac{a}$（2$\frac{{a}^{2}}{c}$-c），
化簡(jiǎn)得：$\frac{c}{a}$=2，即離心率為2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．