如圖,已知直棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=BB1=8,M,N分別為棱BC,CC1的中點.
(1)求證:BN⊥AB1
(2)求四棱錐A-MB1C1C與三棱柱ABC-A1B1C1的體積比.

解:(1)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1,
∴側面BB1C1C為正方形
∵M,N分別為BC,CC1的中點,
∴Rt△BCN≌Rt△B1BM,得∠CBN=∠BB1M=90°-∠NBB1,
由此可得∠NBB1+∠BB1M=90°,得BN⊥B1M
∵直棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,B1B?平面BB1C1C
∴平面ABC⊥平面BB1C1C
∵△ABC中,AB=AC=5,M為BC中點,∴AM⊥BC
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AM?平面ABC
∴AM⊥平面BB1C1C,結合BN?平面BB1C1C,得BN⊥AM
∵AM、B1N是平面AB1M內的相交直線
∴BN⊥平面AB1M,再由AB1?平面AB1M,得BN⊥AB1;
(2)∵AB=5,MB=BC=4,∴AM==3
∴四棱錐A-MB1C1C的體積:VA-MB1C1C=S四邊形MB1C1C•AM=×(82-×8×4)=48
又∵三棱柱ABC-A1B1C1的體積V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=×8×3×8=96
∴四棱錐A-MB1C1C與三棱柱ABC-A1B1C1的體積比為48:96=1:2.
分析:(1)在正方形BB1C1C中,利用三角形全等證出BN⊥B1M,再利用直三棱柱的性質和面面垂直的判定與性質,得到BN⊥AM,從而得到BN⊥平面AB1M,再由AB1?平面AB1M,得BN⊥AB1;
(2)利用勾股定理,算出四棱錐A-MB1C1C的高為AM=3,結合四邊形MB1C1C的面積,可算出四棱錐A-MB1C1C的體積為48;而由已知條件易算出三棱柱ABC-A1B1C1的體積為96,由此可得四棱錐A-MB1C1C與三棱柱ABC-A1B1C1的體積比.
點評:本題給出直三棱柱,求證異面直線相互垂直并求兩個幾何體的體積之比,著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質和柱體、錐體的體積公式等知識,屬于中檔題.
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