Question

如圖，已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分別為棱BC，CC₁的中點．
（1）求證：BN⊥AB₁；
（2）求四棱錐A-MB₁C₁C與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．

Answer 1

解：（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，
∴側面BB₁C₁C為正方形
∵M，N分別為BC，CC₁的中點，
∴Rt△BCN≌Rt△B₁BM，得∠CBN=∠BB₁M=90°-∠NBB₁，
由此可得∠NBB₁+∠BB₁M=90°，得BN⊥B₁M
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥平面ABC，B₁B?平面BB₁C₁C
∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C
∵△ABC中，AB=AC=5，M為BC中點，∴AM⊥BC
∵平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AM?平面ABC
∴AM⊥平面BB₁C₁C，結合BN?平面BB₁C₁C，得BN⊥AM
∵AM、B₁N是平面AB₁M內的相交直線
∴BN⊥平面AB₁M，再由AB₁?平面AB₁M，得BN⊥AB₁；
（2）∵AB=5，MB=BC=4，∴AM==3
∴四棱錐A-MB₁C₁C的體積：V_A-MB1C1C=S_{四邊形MB1C1C}•AM=×（8²-×8×4）=48
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=S_△ABC•BB₁=×8×3×8=96
∴四棱錐A-MB₁C₁C與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比為48：96=1：2．
分析：（1）在正方形BB₁C₁C中，利用三角形全等證出BN⊥B₁M，再利用直三棱柱的性質和面面垂直的判定與性質，得到BN⊥AM，從而得到BN⊥平面AB₁M，再由AB₁?平面AB₁M，得BN⊥AB₁；
（2）利用勾股定理，算出四棱錐A-MB₁C₁C的高為AM=3，結合四邊形MB₁C₁C的面積，可算出四棱錐A-MB₁C₁C的體積為48；而由已知條件易算出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為96，由此可得四棱錐A-MB₁C₁C與三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．
點評：本題給出直三棱柱，求證異面直線相互垂直并求兩個幾何體的體積之比，著重考查了空間線面垂直、面面垂直的判定與性質和柱體、錐體的體積公式等知識，屬于中檔題．