A是由定義在［2,4］上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:①對任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);②存在常數(shù)L(0＜L＜1),使得對任意的x1,x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

(1)設(shè)φ(x)=,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;

(2)設(shè)φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(3)設(shè)φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,證明給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式|xk+p-xk|≤|x2-x1|.

證明:(1)對任意的x∈［1,2］,φ(2x)=,x∈［1,2］,≤φ(2x)≤,1＜＜＜2,所以φ(2x)∈(1,2).

對任意的x1,x2∈［1,2］,

|φ(2x1)-φ(2x2)|

=|x1-x2|,

3＜,

所以0＜＜,

令=L,0＜L＜1,

|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

所以φ(x)∈A.

(2)反證法:假設(shè)存在兩個x0,x0′∈(1,2),x0≠x0′,使得x0=φ(2x0),x0′=φ(2x0′),則

由|φ(2x0)-φ(2x0′)|≤L|x0-x0′|,得|x0-x0′|≤L|x0-x0′|,所以L≥1,矛盾,故結(jié)論成立,

(3)|x3-x2|=|φ(2x2)-φ(2x1)|≤L|x2-x1|,所以|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|,

|xk+p-xk|=|(xk+p-xk+p-1)+(xk+p-1-xk+p-2)+…+(xk+1-xk)|≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|≤|x2-x1|.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•延慶縣一模）A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=
31+x
，x∈[1，2]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•延慶縣一模）A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=
31+x
，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：延慶縣一模 題型：解答題

A是由定義在[2，4]上且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合：
（1）對任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常數(shù)L（0＜L＜0），使得對任意的x1，x2∈[1，2]，都有|?（2x1）-?（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）設(shè)φ（x）=
31+x
，x∈[2，4]，證明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）設(shè)φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么這樣的x0是唯一的；
（Ⅲ）設(shè)φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，證明：給定正整數(shù)k，對任意的正整數(shù)p，不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

A是由定義在［2,4］上且滿足如下條件的函數(shù)φ(x)組成的集合:

①對任意x∈［1,2］,都有φ(2x)∈(1,2);

②存在常數(shù)L(0＜L＜1),使得對任意x1、x2∈［1,2］,都有|φ(2x1)-φ(2x2)|≤L|x1-x2|.

(1)設(shè)φ(x)=,x∈［2,4］,證明φ(x)∈A;

(2)設(shè)φ(x)∈A,證明如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ(2x0),那么這樣的x0是唯一的;

(3)設(shè)φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ(2xn),n=1,2,…,證明給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式:|xk+p-xk|≤|x1-x2|.

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