Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=

(Ⅰ)求φ；

(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單增區(qū)間；

(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖像不相切.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)

(Ⅱ)單調(diào)增區(qū)間為［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

(Ⅲ)見解析

【解析】

【錯解分析】由對稱軸是x=，可知2×+φ使f(x)取最值，即+φ=kπ+.(k∈Z)，從而可求φ；由sinx的單增區(qū)間可求f(x)=sin(2x+φ)的單增區(qū)間.由｜f′(x)｜=｜2cos(2x+φ)｜≤2，直線5x-2y+c=0的斜率為>2說明直線和f(x)的圖象不能相切.

【正解】(Ⅰ)解法1：因為x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸，

所以sin(2·+φ)=±1,  則有+φ=kπ+,k∈Z. 

因為-π<φ<0, 所以φ=-

解法2：函數(shù)y=sin 2x圖像的對稱軸為x=+,k∈Z.

y=sin(2x+φ)的圖像由y=sin 2x的圖像向左平移得到，

所以有+-=  k∈Z.

∵-π<φ<0,∴φ=.

解法3：因為x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸. 所以f(-x)=f(+x).

即sin［2(-x)+φ］=sin［2(+x)+φ］，

于是有2(-x)+φ=2kπ+2(+x)+φ(舍去),

或［2(-x)+φ］+［2(+x)+φ］=2kπ+π. 

因為-π<φ<0，∴φ=

(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-π,因此y=sin(2x-π)，

由題意得2kπ-≤2x-π≤2kπ+,(k∈Z),

所以函數(shù)y=sin(2x-π)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ+  kπ+π］,k∈Z,

解法2：由y′=2cos(2x-π)≥0可得，2kπ-≤2x-π≤2kπ+  k∈Z,

所以函數(shù)y=sin(2x-π)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ+,kπ+π］  k∈Z,

(Ⅲ)解法1：因為｜y′｜=｜［sin(2x-π)］′｜=｜2cos(2x-π)｜≤2,

所以曲線y=f(x)的切線斜率取值范圍為［-2,2］，而直線5x-2y+c=0的斜率>2，

所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-π)的圖象不相切.

解法2：令F(x)=sin(2x-π)-, 

則F′(x)=2cos(2x-π)-,

∵-1≤cos(2x-π)≤1，F(xiàn)′(x)≠0.

則直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-π)的圖像不相切.

【點評】本題第(Ⅰ)(Ⅱ)問是三角函數(shù)中最基本的問題，第(Ⅲ)問是考查一般函數(shù)在某點導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及的都是一些基本的概念，也是每個同學(xué)應(yīng)該掌握的.