Question

如圖，三棱柱ADF-BCE中，四邊形ABCD和正方形ABEF的邊長均為2，∠ABC=60°，∠ABE=90°，平面ABCD⊥平面ABEF，M，N分別是AC，BF上的動點．
（I）若M，N分別是AC，BF的中點，求證：MN∥平面ADF；
（Ⅱ）若AM=FN=a（0≤a≤2），當四面體AMNB的體積最大時，求實數a的值．

Answer 1

解：（I）分別取AD、AF的中點G、H，連接GH、MG、NH
∵△ACD中，MG是中位線，∴MG∥CD且MG=CD
同理可得：HN∥AB且HN=AB
∵AB∥CD且AB=CD，
∴HN∥MG且HN=MG，可得四邊形MNHG是平行四邊形
∴MN∥GH
∵GH⊆平面ADF，MN?平面ADF，
∴MN∥平面ADF；
（II）分別過點M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分別是L、K
∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，NK⊆平面ABEF，NK⊥AB
∴NK⊥平面ABCD
∵Rt△AML中，∠MAL=∠ABC=60°，AM=a，∴ML=asin60°=a
∵Rt△NKB中，∠NBK=45°，NB=2-a，∴NK=2-a
因此，四面體AMNB的體積為
V=S_△ABM•NK=（×2×a）（2-a）=a-a²=-（a-）²+（0≤a≤2）
∴當且僅當a=時，四面體AMNB的體積最大值為．
所以，當四面體AMNB的體積最大時，實數a的值為．
分析：（I）分別取AD、AF的中點G、H，連接GH、MG、NH．利用三角形中位線定理結合棱柱的性質，可以證出HN與MG平行且相等，所以MNHG是平行四邊形，得到MN∥GH，最后根據線面平行的判定定理，得出MN∥平面ADF；
（II）分別過點M、N作ML⊥AB，NK⊥AB，垂足分別是L、K．由面面垂直的性質定理，可得NK⊥平面ABCD，利用含有60°的直角三角形，算出S_△ABM，利用含有45°的直角三角形，算出NK的長，從而得到四面體AMNB的體積關于實數a的二次函數表達式，結合二次函數的性質，不難得到當四面體AMNB的體積最大時，實數a的值．
點評：本題主要考查線面平行的判定，面面垂直的性質，空間幾何體體積的計算和二次函數的最值等知識，考查空間想象能力和計算能力，屬于中檔題．